Struttura della lezione

• Parte teorica: proposizioni come tipi, regole logiche, approccio costruttivo.
• Live demo.
• Esercizi.

Recap: che cosa fa il kernel

Il kernel è la parte del sistema che controlla il risultato finale.

• Le tattiche aiutano a costruire una dimostrazione.
• L'interfaccia mostra il proof state e guida il lavoro di dimostrazione.
• Le librerie forniscono definizioni e teoremi già verificati.
• Alla fine, il kernel deve verificare che l'oggetto costruito abbia il tipo richiesto.

Leonardo de Moura and Sebastian Ullrich, The Lean 4 Theorem Prover and Programming Language

Il ruolo del typechecker

Lean controlla se un termine ha il tipo atteso.

• Un termine può essere un dato, una funzione, una definizione o una dimostrazione.
• In una dimostrazione, il tipo atteso è la proposizione che vogliamo dimostrare.
• Un teorema viene accettato quando Lean può controllare (nel senso di type check) il termine di dimostrazione rispetto all'enunciato.
• Per il typechecker, dimostrare un teorema vuol dire aver costruito con successo un termine ben tipato.

Theorem Proving in Lean 4, Propositions and Proofs

Proposizioni come tipi

In Lean una proposizione è un oggetto di tipo Prop.

• P : Prop dice che P è una proposizione.
• Una dimostrazione di P è un termine che abita il tipo P.
• Scrivere hP : P - ad esempio tra le assunzioni - significa avere una dimostrazione di P.
• Dimostrare P significa dunque costruire un termine del tipo giusto.

Theorem Proving in Lean 4, Propositions and Proofs

In Lean, dimostrare è costruire

L'implicazione P → Q si comporta come una funzione da dimostrazioni di P a dimostrazioni di Q.

• Abbiamo visto che un'assunzione è un input temporaneo disponibile nel contesto di dimostrazione.
• Applicare un'implicazione significa applicare una funzione.
• Da hPQ : P → Q e hP : P otteniamo una dimostrazione di Q.
• Il proof state mostra quali input abbiamo e quale output dobbiamo costruire.

Connettivi logici in Lean

I connettivi logici sono dunque costruttori di proposizioni.

Regole di introduzione ed eliminazione

Per ogni connettivo distinguiamo due domande.

• Regola di introduzione: come costruisco una dimostrazione di questa proposizione composta?
• Regola di eliminazione: come uso una dimostrazione di questa proposizione composta per avere le sue componenti elementari?
• Nel live demo osserveremo queste due domande direttamente nel proof state.

Logic and Proof, Natural Deduction Rules

Implicazione: P → Q

Una implicazione trasforma dimostrazioni di P in dimostrazioni di Q.

• Per introdurre P → Q, assumiamo temporaneamente P e facciamo vedere come costruire Q.
• Per eliminare P → Q, la applichiamo a una dimostrazione di P.
• Questo è di nuovo il modus ponens: da P → Q e P otteniamo Q.

Congiunzione: P ∧ Q

Una congiunzione contiene entrambe le informazioni.

• Per introdurre P ∧ Q, dobbiamo costruire sia una dimostrazione di P che una dimostrazione di Q.
• Per eliminare P ∧ Q, possiamo selezionare liberamente la parte sinistra oppure la parte destra (uno dei congiunti).
• In Lean questo corrisponde all'idea di accedere alle due componenti di una dimostrazione composta.

Disgiunzione: P ∨ Q

Una disgiunzione contiene una delle due informazioni.

• Per introdurre P ∨ Q, basta costruire una dimostrazione di uno dei due disgiunti.
• Per eliminare P ∨ Q, dobbiamo necessariamente ragionare per casi.
• In entrambi - nel caso P e nel caso Q - dobbiamo mostrare di poter raggiungere la stessa conclusione.
• Questo è il motivo per cui una disgiunzione produce due rami nella dimostrazione.

Negazione: ¬P

In Lean la negazione è definita tramite False.

• ¬P significa P → False.
• Per dimostrare ¬P, assumiamo temporaneamente P...
• ... poi dobbiamo derivare una contraddizione.
• False rappresenta uno stato contraddittorio: da lì qualunque goal può essere chiuso.

Bicondizionale: P ↔ Q

Un bicondizionale contiene due implicazioni, una in ciascuna direzione.

• Per introdurre P ↔ Q, dobbiamo costruire sia P → Q che Q → P.
• Per eliminare P ↔ Q da sinistra a destra, usiamo la direzione P → Q.
• Per eliminarlo da destra a sinistra, usiamo la direzione Q → P.
• In Lean queste due direzioni corrispondono a Iff.mp e Iff.mpr.

Fondazioni intuizioniste

La logica di base di Lean è costruttiva (intuizionista). Ovvero:

• Una dimostrazione deve far vedere come costruire l'oggetto richiesto dal tipo.
• Non basta dire che un'alternativa sarebbe assurda e dunque concludere il suo contrario: bisogna produrre costruttivamente - passo dopo passo - ciò che il goal richiede.

Che cosa non è automatico costruttivamente

Alcuni principi familiari della matematica classica non sono disponibili automaticamente, se scegliamo un approccio costruttivo.

• Il terzo escluso: P ∨ ¬P.
• L'eliminazione della doppia negazione: ¬¬P → P.
• La dimostrazione per assurdo in forma classica.
• Costruttivamente, escludere ¬P non equivale ancora a far vedere come costruire una dimostrazione di P.

Un esempio: la contrapposizione

La contrapposizione mette in relazione un'implicazione e la sua forma negativa: (P → Q) ↔ (¬Q → ¬P).

• La direzione (P → Q) → (¬Q → ¬P) è costruttiva.
• La direzione (¬Q → ¬P) → (P → Q) richiede ragionamento classico.
• Lo vedremo tra poco nel live demo.

Dove subentra la logica classica

Lean permette di usare principi classici in modo esplicito.

• Classical.em P fornisce una dimostrazione di P ∨ ¬P e ci permette di usare il terzo escluso.
• Possiamo quindi ragionare per casi su una proposizione arbitraria.
• Classical.byContradiction formalizza la dimostrazione per assurdo: da ¬P → False concludiamo P.

Live demo

Fonti

Theorem Proving in Lean 4, Propositions and Proofs

Logic and Proof, Natural Deduction Rules

Leonardo de Moura and Sebastian Ullrich, The Lean 4 Theorem Prover and Programming Language