Implicazione: introduzione →I
Regola:
Schema naturale: per dimostrare A → B, introduciamo l'assunzione A; arriviamo a una dimostrazione di B; usiamo esattamente questa dimostrazione.
Esempio: vogliamo dimostrare che, se piove e fa freddo, allora piove. Introduciamo l'assunzione che piova e faccia freddo; abbiamo che piove prendendo la parte sinistra dell'assunzione; usiamo esattamente questo fatto.
Implicazione: eliminazione →E
Regola:
Schema naturale: abbiamo A → B e abbiamo A; applichiamo la prima (funzione) alla seconda (dimostrazione); abbiamo B e usiamo esattamente questo fatto.
Esempio: vogliamo dimostrare che prendo l'ombrello, date le assunzioni che, se piove prendo l'ombrello e che piove. Applichiamo la prima assunzione alla seconda; abbiamo che prendo l'ombrello e usiamo esattamente questo fatto.
Congiunzione: introduzione ∧I
Regola:
Schema naturale: applichiamo il costruttore della congiunzione; abbiamo il caso in cui dobbiamo dimostrare A e usiamo esattamente la sua dimostrazione; abbiamo poi il caso B e usiamo esattamente la sua dimostrazione.
Esempio: vogliamo dimostrare che piove e fa freddo, date le assunzioni che piove e che fa freddo. Applichiamo il costruttore di «piove e fa freddo»; abbiamo il caso «piove» e usiamo esattamente la prima assunzione; abbiamo il caso «fa freddo» e usiamo esattamente la seconda.
Congiunzione: eliminazione sinistra ∧Eₗ
Regola:
Schema naturale: abbiamo A ∧ B; abbiamo A prendendo la parte sinistra della congiunzione; usiamo esattamente questo fatto.
Esempio: vogliamo dimostrare che piove, data l'assunzione che piove e fa freddo. Abbiamo che piove prendendo la parte sinistra dell'assunzione; usiamo esattamente questo fatto.
Congiunzione: eliminazione destra ∧Eᵣ
Regola:
Schema naturale: abbiamo A ∧ B; abbiamo B prendendo la parte destra della congiunzione; usiamo esattamente questo fatto.
Esempio: vogliamo dimostrare che fa freddo, data l'assunzione che piove e fa freddo. Abbiamo che fa freddo prendendo la parte destra dell'assunzione; usiamo esattamente questo fatto.
Disgiunzione: introduzione sinistra ∨Iₗ
Regola:
Schema naturale: applichiamo il costruttore sinistro della disgiunzione; il goal diventa A; usiamo esattamente la dimostrazione di A.
Esempio: vogliamo dimostrare che piove oppure nevica, data l'assunzione che piove. Applichiamo il costruttore sinistro di «piove oppure nevica»; il goal diventa «piove»; usiamo esattamente l'assunzione che piove.
Disgiunzione: introduzione destra ∨Iᵣ
Regola:
Schema naturale: applichiamo il costruttore destro della disgiunzione; il goal diventa B; usiamo esattamente la dimostrazione di B.
Esempio: vogliamo dimostrare che piove oppure nevica, data l'assunzione che nevica. Applichiamo il costruttore destro di «piove oppure nevica»; il goal diventa «nevica»; usiamo esattamente l'assunzione che nevica.
Disgiunzione: eliminazione ∨E
Regola:
Schema naturale: abbiamo A ∨ B e procediamo per casi; abbiamo il caso A, applichiamo A → C e abbiamo C; abbiamo il caso B, applichiamo B → C e abbiamo ancora C; in ciascun caso usiamo esattamente il fatto ottenuto.
Esempio: vogliamo dimostrare che prendo l'ombrello, date le assunzioni che piove oppure nevica, che se piove prendo l'ombrello e che se nevica prendo l'ombrello. Procediamo per casi sulla prima assunzione; abbiamo il caso che piove, applichiamo la seconda assunzione e abbiamo che prendo l'ombrello; abbiamo il caso che nevica, applichiamo la terza assunzione e abbiamo ancora che prendo l'ombrello; usiamo esattamente il fatto ottenuto in ciascun caso.
Negazione: introduzione ¬I
Regola:
Schema naturale: introduciamo l'assunzione A; applichiamo le assunzioni disponibili e abbiamo una contraddizione; usiamo esattamente questa contraddizione per dimostrare ¬A.
Esempio: vogliamo dimostrare che non ho bevuto caffè, date le assunzioni che, se bevo caffè, resto sveglio e che non resto sveglio. Introduciamo l'assunzione che io abbia bevuto caffè; applichiamo la prima assunzione e abbiamo che resto sveglio; applichiamo la seconda assunzione e abbiamo una contraddizione; usiamo esattamente questa contraddizione.
Negazione: eliminazione ¬E
Regola:
Schema naturale: abbiamo ¬A e abbiamo A; applichiamo la prima dimostrazione alla seconda e abbiamo una contraddizione; usiamo esattamente questa contraddizione.
Esempio: vogliamo dimostrare una contraddizione, date le assunzioni che il laboratorio non è aperto e che è aperto. Applichiamo la prima assunzione alla seconda e abbiamo una contraddizione; usiamo esattamente questa contraddizione.
Verità: introduzione ⊤I
Regola:
Schema naturale: abbiamo il costruttore canonico di True; usiamo esattamente questo costruttore senza applicare alcuna assunzione.
Esempio: vogliamo dimostrare la proposizione sempre vera. Abbiamo il suo costruttore canonico; usiamo esattamente questo costruttore.
Falsità: eliminazione ⊥E
Regola:
Schema naturale: applichiamo l'eliminazione di False; il goal diventa False; usiamo esattamente la contraddizione disponibile.
Esempio: vogliamo dimostrare che piove, data l'assunzione di una contraddizione. Applichiamo l'eliminazione di False; il goal diventa una contraddizione; usiamo esattamente quella disponibile.
Bicondizionale: introduzione ↔I
Regola:
Schema naturale: applichiamo il costruttore del bicondizionale; abbiamo il caso A → B, introduciamo l'assunzione A e dimostriamo B; abbiamo il caso B → A, introduciamo l'assunzione B e dimostriamo A.
Esempio: vogliamo dimostrare che «piove e fa freddo» equivale a «fa freddo e piove». Applichiamo il costruttore dell'equivalenza: dobbiamo dimostrare le due direzioni. Abbiamo il primo caso: supponiamo che piova e faccia freddo e vogliamo dimostrare che fa freddo e piove. Introduciamo questa assunzione; applichiamo il costruttore della congiunzione; usiamo esattamente prima il fatto che fa freddo e poi il fatto che piove. Abbiamo il secondo caso: supponiamo che faccia freddo e piova e vogliamo dimostrare che piove e fa freddo. Introduciamo questa assunzione; applichiamo il costruttore della congiunzione; usiamo esattamente prima il fatto che piove e poi il fatto che fa freddo.
Bicondizionale: eliminazione ↔Eₗ
Regola:
Schema naturale: abbiamo A → B applicando l'eliminazione sinistra-destra al bicondizionale; applichiamo questa direzione ad A; abbiamo B e usiamo esattamente questo fatto.
Esempio: vogliamo dimostrare che un numero è divisibile per due, date le assunzioni che essere pari equivale a essere divisibile per due e che il numero è pari. Abbiamo la direzione verso «divisibile per due»; la applichiamo alla seconda assunzione; abbiamo che il numero è divisibile per due e usiamo esattamente questo fatto.
Bicondizionale: eliminazione ↔Eᵣ
Regola:
Schema naturale: abbiamo B → A applicando l'eliminazione destra-sinistra al bicondizionale; applichiamo questa direzione a B; abbiamo A e usiamo esattamente questo fatto.
Esempio: vogliamo dimostrare che un numero è pari, date le assunzioni che essere pari equivale a essere divisibile per due e che il numero è divisibile per due. Abbiamo la direzione verso «pari»; la applichiamo alla seconda assunzione; abbiamo che il numero è pari e usiamo esattamente questo fatto.