Struttura della lezione

• Ripassiamo la formalizzazione di enunciati quantificati.
• Completiamo gli esercizi con funzioni, relazioni e quantificatori annidati.
• Introduciamo ed eliminiamo i quantificatori universale ed esistenziale.
• Comprendiamo le condizioni che rendono valide queste regole.
• Combiniamo quantificatori e connettivi in dimostrazioni più articolate.

Ripasso: dal linguaggio naturale a Lean

Usiamo Studentessa, Legge e Comprende come predicati su Cosa. Come formalizziamo?

• Ogni studentessa legge.
• Qualche studentessa legge.
• Ogni studentessa che legge comprende.
• Esiste una studentessa che legge e comprende.

Ripasso: formalizzazione

#check verifica che ciascuna espressione sia una proposizione ben formata (non la dimostra).

Esercizio: formalizzare con una funzione

Usiamo anche madreDi : Cosa → Cosa. Come formalizziamo?

• La madre di Ipazia è curiosa.
• Ogni studentessa conosce la propria madre.
• Esiste una studentessa la cui madre legge.

Esercizio: controlliamo le funzioni

Le parentesi mostrano che costruiamo prima il termine madreDi x e poi lo usiamo come argomento.

Esercizio: quantificatori annidati

Usiamo Conosce : Cosa → Cosa → Prop. Come formalizziamo?

• Ogni persona conosce qualcuno.
• Qualcuno conosce ogni persona.
• Nessuno conosce ogni persona.

Esercizio: controlliamo i quantificatori annidati

L'ordine dei quantificatori determina se la persona conosciuta può cambiare al cambiare della prima persona.

Quantificatore universale: introduzione ∀I

Regola:

Schema naturale: vogliamo dimostrare ∀ y : Cosa, A y. Introduciamo una cosa arbitraria x; il goal diventa A x. Dimostriamo A x senza usare informazioni particolari su x; concludiamo che A vale per ogni cosa.

Esempio: vogliamo dimostrare che ogni persona curiosa è curiosa. Introduciamo una cosa arbitraria x; introduciamo l'assunzione che x sia una persona; introduciamo l'assunzione che x sia curiosa; usiamo esattamente quest'ultima assunzione.

∀I: che cosa significa «arbitraria»?

La conclusione deve valere per una cosa qualsiasi, non soltanto per una cosa già nota.

• Da hIpaziaCuriosa : Curiosa ipazia non possiamo concludere ∀ y : Cosa, Curiosa y.
• Dopo intro x, Lean ci dà una nuova x : Cosa della quale non conosciamo l'identità.
• Il goal è ora Curiosa x, ma hIpaziaCuriosa dimostra soltanto Curiosa ipazia.

Perciò exact hIpaziaCuriosa non funziona: sapere qualcosa di Ipazia non dimostra la stessa proprietà della nuova x arbitraria.

∀I: due variabili chiamate x

Possiamo vedere la stessa difficoltà dichiarando prima un oggetto particolare x : Cosa e usando di nuovo il nome x dopo intro x.

• Lean non confonde i due oggetti: nel tactic state rinomina il primo come x✝.
• L'assunzione diventa hXCuriosa : Curiosa x✝.
• La variabile introdotta dal quantificatore è la nuova x : Cosa.
• Il goal Curiosa x non coincide con il tipo Curiosa x✝ dell'assunzione.

Il simbolo ✝ non ha un significato logico speciale: segnala soltanto la rinomina automatica di una variabile locale con lo stesso nome visualizzato.

∀I: assunzioni aperte e variabili libere

Nella regola, x non deve comparire libera in alcuna assunzione ancora aperta quando concludiamo ∀ y : Cosa, A y.

• Variabile libera: in Curiosa x, nessun quantificatore lega x.
• Variabile legata: in ∀ y : Cosa, Curiosa y, il quantificatore lega y.
• Assunzione aperta problematica: hXCuriosa : Curiosa x, se fosse già disponibile prima della generalizzazione.

Nel codice precedente, intro x crea invece una nuova variabile locale dentro il goal universale. Le assunzioni precedenti riguardano ipazia, non questa nuova x; lo scope impedisce di confonderle.

Quantificatore universale: eliminazione ∀E

Regola:

Schema naturale: abbiamo ∀ x, A x; scegliamo un termine t; applichiamo la dimostrazione universale a t; abbiamo A t e usiamo esattamente questo fatto.

Esempio: vogliamo dimostrare che Marta legge, date le assunzioni che ogni studentessa legge e che Marta è una studentessa. Applichiamo l'assunzione universale a Marta; abbiamo che, se Marta è una studentessa, allora legge. Applichiamo questo fatto all'assunzione che Marta è una studentessa; usiamo esattamente il risultato.

∀E: quale termine possiamo usare?

Il termine t può essere qualsiasi termine del dominio adatto.

• Può essere un nome: marta.
• Può essere una variabile locale: x.
• Può essere costruito da una funzione: madreDi ipazia.

Se abbiamo h : ∀ x : Cosa, Curiosa x, allora h (madreDi ipazia) ha tipo Curiosa (madreDi ipazia). Lean controlla il tipo e gestisce i nomi delle variabili legate.

Quantificatore esistenziale: introduzione ∃I

Regola:

Schema naturale: vogliamo dimostrare ∃ x, A x. Scegliamo un testimone t; applichiamo il costruttore dell'esistenziale usando t; il goal diventa A t; usiamo esattamente una dimostrazione di A t.

Esempio: vogliamo dimostrare che esiste qualcuno che legge, data l'assunzione che Marta legge. Applichiamo il costruttore dell'esistenziale scegliendo Marta come testimone; il goal diventa «Marta legge»; usiamo esattamente l'assunzione disponibile.

∃I: scegliere il testimone

Anche qui il termine scelto può essere semplice oppure costruito.

• Per dimostrare ∃ x, Legge x, scegliamo marta se abbiamo Legge marta.
• Per dimostrare ∃ x, Curiosa x, scegliamo madreDi ipazia se abbiamo Curiosa (madreDi ipazia).
• Dopo la scelta, Lean sostituisce il testimone nel predicato e mostra il nuovo goal.

Il controllo dei tipi e lo scope dei legami impediscono sostituzioni scorrette.

Quantificatore esistenziale: eliminazione ∃E

Regola:

Schema naturale: abbiamo ∃ x, A x. Applichiamo l'eliminazione dell'esistenziale; introduciamo un testimone arbitrario y e l'assunzione A y; dimostriamo B. Poiché B non dipende dall'identità di y, concludiamo B.

Esempio: vogliamo dimostrare che inizia un'indagine, date le assunzioni che qualcuno ha fatto una segnalazione e che, data una cosa qualsiasi x, se x fa una segnalazione, inizia un'indagine. Applichiamo l'eliminazione dell'esistenziale; introduciamo il testimone arbitrario y; introduciamo l'assunzione che y abbia fatto una segnalazione. Applichiamo la seconda assunzione a y e abbiamo che, se y ha fatto una segnalazione, inizia un'indagine; applichiamo questo fatto all'assunzione che y abbia fatto una segnalazione; abbiamo che inizia un'indagine e usiamo esattamente questo fatto.

∃E: perché il testimone è arbitrario?

L'esistenziale garantisce che un testimone esiste, ma non ci dice chi sia.

• Possiamo usare l'assunzione A y ricevuta aprendo l'esistenziale.
• Non possiamo attribuire a y proprietà che non seguono da A y.
• La conclusione finale B non può contenere libera la variabile locale y.

Possiamo però riutilizzare y come testimone di un nuovo esistenziale: così la sua identità non compare nella conclusione.

∃E: come Lean applica la condizione

Exists.elim ci chiede una conclusione già fissata prima di aprire l'esistenziale.

• apply Exists.elim hQualcunoHaFattoSegnalazione apre l'assunzione esistenziale.
• intro y introduce un testimone locale arbitrario.
• intro hYHaFattoSegnalazione introduce l'assunzione che il testimone abbia fatto una segnalazione.
• Con due have applichiamo la regola generale a y e poi alla segnalazione di y.
• exact hIniziaIndagine chiude il goal originale, che non contiene y.

Lean rifiuta una conclusione che dipenda illegalmente dall'identità del testimone locale.

Combinare ∃E, ∀E e ∃I

Vogliamo dimostrare che qualcuna resta asciutta, date le assunzioni che qualcuna ha un ombrello e che chiunque abbia un ombrello resta asciutta.

• Applichiamo ∃E e otteniamo un testimone arbitrario y con un ombrello.
• Applichiamo ∀E a y e abbiamo che y resta asciutta.
• Applichiamo ∃I, scegliendo la stessa y come testimone.

La conclusione afferma soltanto che qualcuna resta asciutta: l'identità locale di y non sfugge dalla dimostrazione.

Combinare ∀, → e ∧

Date le assunzioni che ogni studentessa che legge prende appunti e che ogni studentessa che legge comprende, vogliamo dimostrare che ogni studentessa che legge prende appunti e comprende.

• Introduciamo una cosa arbitraria x e le assunzioni che sia studentessa e che legga.
• Applichiamo entrambe le regole universali a x.
• Applichiamo il costruttore della congiunzione.
• Nei due casi usiamo i risultati ottenuti dalle regole universali.

Combinare ∃, ∨ e ∀

Qualcuno visita Roma oppure Atene; chi visita una delle due città vede un museo. Vogliamo dimostrare che qualcuno vede un museo.

• Apriamo l'esistenziale e introduciamo un testimone arbitrario y.
• Abbiamo il caso che y visiti Roma oppure il caso che visiti Atene.
• In ciascun caso applichiamo la regola universale corrispondente a y.
• Introduciamo l'esistenziale usando y come testimone.

Strategia operativa

Quando leggiamo il proof state, procediamo dall'esterno verso l'interno.

• Se il goal inizia con ∀, introduciamo una cosa arbitraria.
• Se abbiamo un'assunzione con ∀, la applichiamo al termine necessario.
• Se il goal inizia con ∃, scegliamo un testimone.
• Se abbiamo un'assunzione con ∃, la eliminiamo e ragioniamo su un testimone arbitrario.
• Poi continuiamo con le regole dei connettivi già studiate.

Fonti

Jeremy Avigad, Robert Y. Lewis, Floris van Doorn, Logic and Proof: Natural Deduction Rules

Jeremy Avigad, Robert Y. Lewis, Floris van Doorn, Natural Deduction for First Order Logic

The Lean Language Reference, Quantifiers

Logic and Proof, First Order Logic in Lean