Struttura della lezione

• Vediamo come definire tipi induttivamente e costruiamo i nostri numeri naturali.
• Introduciamo le dimostrazioni per induzione e alcune tattiche utili in matematica.
• Concludiamo con una prima dimostrazione per induzione.

Promemoria: che cos'è l'induzione?

L'induzione è un modo per dimostrare che una proprietà vale per tutti gli elementi di una struttura costruita passo dopo passo.

Una dimostrazione per induzione è formata da:

• uno o più casi base, nei quali dimostriamo direttamente la proprietà per gli elementi iniziali.
• un passo induttivo, nel quale assumiamo che la proprietà valga per un elemento già costruito e dimostriamo che vale anche per quello successivo.

L'ipotesi usata nel passo si chiama ipotesi induttiva, o ipotesi di induzione. Caso base e passo induttivo permettono insieme di raggiungere tutti gli elementi della struttura.

Da Cosa a un tipo con una struttura

Nelle lezioni precedenti, dichiarare Cosa : Type lasciava aperti gli elementi e la struttura del dominio.

Un tipo induttivo viene invece definito elencando tutti i modi in cui possiamo costruirne i valori. Questi modi si chiamano costruttori.

Per un semaforo consideriamo esattamente tre possibilità: rosso, giallo e verde.

Il tipo Semaforo

La dichiarazione di Semaforo introduce il tipo e i tre costruttori rosso, giallo e verde.

Ogni costruttore produce un valore del nuovo tipo. Poiché non abbiamo dichiarato altri costruttori, questi tre casi descrivono tutti i valori possibili.

Pattern matching e predicati

Un pattern matching definisce il risultato separatamente per ciascun costruttore.

• SiDeveFermare .rosso si riduce a True.
• SiDeveFermare .giallo si riduce a True.
• SiDeveFermare .verde si riduce a False.

Ritroviamo così un concetto già noto: SiDeveFermare : Semaforo → Prop è un predicato, ma ora conosciamo tutti gli elementi possibili del suo dominio.

Esercizio: ragionare sui costruttori

Vogliamo dimostrare che ogni semaforo è rosso, giallo oppure verde:

lecture06_semaforo_ha_un_colore (s : Semaforo) :

s = .rosso ∨ s = .giallo ∨ s = .verde.

Costruiamo i naturali

Definiamo un nuovo tipo Naturale senza usare Nat.

• zero è un naturale.
• Se n è un naturale, succ n è un naturale.
• Non esistono altri modi di costruire un naturale.

Per ora non usiamo numerali come 1 o 2: costruiamo i valori direttamente con zero e succ.

Zero, uno, due, tre

Dichiariamo:

• zero.
• uno := succ zero.
• due := succ uno.
• tre := succ due.

Ogni valore finito è quindi una catena di applicazioni di succ che termina con zero.

Promemoria: che cos'è la ricorsione?

La ricorsione permette di risolvere un problema usando la soluzione dello stesso problema su un caso più semplice.

Una definizione ricorsiva contiene normalmente:

• uno o più casi base, che danno direttamente un risultato.
• uno o più casi ricorsivi, che riducono il problema a un caso più semplice e ne usano il risultato.

Le riduzioni devono infine raggiungere un caso base: altrimenti il calcolo continuerebbe senza terminare.

Che cos'è una definizione ricorsiva?

Una funzione ricorsiva segue i costruttori del dato sul quale opera.

• Diciamo che cosa fare nel caso zero.
• Diciamo che cosa fare nel caso succ n.
• Nel secondo caso possiamo riutilizzare il risultato calcolato sul naturale più piccolo n.

Lean accetta la definizione perché, nel caso succ n, la funzione richiama se stessa su n: abbiamo tolto un succ e siamo quindi più vicini a zero. In questo modo il calcolo non può continuare a richiamare la funzione per sempre.

Definiamo la somma

Scriviamo somma (m n : Naturale) : Naturale: la funzione riceve due naturali e restituisce un naturale. Con match n with rendiamo esplicito che la ricorsione segue il secondo argomento.

• somma m zero restituisce m.
• somma m (succ n) restituisce succ (somma m n).

Il secondo caso riduce il problema dalla somma con succ n alla somma con il naturale più piccolo n.

Definiamo il doppio

Scriviamo doppio (n : Naturale) : Naturale: la funzione riceve un naturale e restituisce un naturale. Con match n with analizziamo i costruttori di n.

• Il doppio di zero è zero.
• Il doppio di succ n aggiunge due successori al doppio di n.

Verifichiamo computazioni concrete come somma uno uno = due e doppio uno = due. In entrambi i casi Lean calcola i due lati e rfl chiude il goal.

Uguaglianza definizionale

Due espressioni sono definizionalmente uguali quando Lean può calcolarle fino a ottenere la stessa espressione.

• somma m zero si riduce direttamente a m.
• somma m (succ n) si riduce a succ (somma m n).
• doppio (succ n) si riduce a succ (succ (doppio n)).

In questi casi rfl chiude il goal perché, dopo la computazione, entrambi i lati coincidono.

Rendere visibile una definizione con unfold

unfold nome apre la definizione indicata nel goal.

Dimostriamo doppio uno = due: apriamo doppio, uno e due, quindi rfl riconosce che i due lati calcolano allo stesso valore.

Riscrivere con un'uguaglianza

Se abbiamo un'assunzione h : a = b, possiamo sostituire un lato con l'altro.

• rw [h] riscrive da a verso b.
• rw [← h] riscrive da b verso a.

Riscrittura in avanti

Vogliamo dimostrare somma a zero = b, data l'assunzione h : a = b.

Prima di rw [h] il goal contiene a. Dopo la riscrittura contiene b. Il lato sinistro si riduce quindi a b e rfl chiude il goal.

Riscrittura nella direzione opposta

Vogliamo dimostrare somma b zero = a, data ancora l'assunzione h : a = b.

La freccia ← cambia l'orientamento della sostituzione. Leggiamo sempre il goal per decidere quale direzione avvicina l'espressione alla forma desiderata.

Un'uguaglianza che non si risolve per computazione

Confrontiamo:

• in somma m zero = m, il secondo argomento è zero: Lean può scegliere subito il primo caso della definizione.
• in somma zero n = n, il secondo argomento è la variabile n: Lean non sa ancora se sia zero oppure succ k e non può scegliere un caso.

Non basta controllare qualche valore di n: l'enunciato deve valere per tutti i naturali. Ci serve quindi un metodo che permetta di ragionare sistematicamente su ogni possibile costruzione di n.

Questo metodo è l'induzione. Vediamo ora come è fatta una dimostrazione per induzione.

Che cos'è una dimostrazione per induzione?

Per dimostrare una proprietà di ogni naturale:

• caso base: dimostriamo la proprietà per zero.
• ipotesi induttiva: nel caso succ n, assumiamo che la proprietà valga per n.
• passo induttivo: usando questa assunzione, dimostriamo la proprietà per succ n.

Questo basta perché ogni Naturale è costruito a partire da zero mediante un numero finito di applicazioni di succ.

cases e induction

Entrambe le tattiche seguono i costruttori, ma forniscono informazioni diverse.

• cases n produce un caso per zero e uno per succ n.
• induction n produce gli stessi casi e, nel caso successore, anche l'ipotesi induttiva ih.

Se il passo per succ n deve riutilizzare il risultato per n, la sola analisi per casi non basta.

Come scegliere la variabile d'induzione

Non scegliamo automaticamente la prima variabile del theorem. Cerchiamo invece la definizione ricorsiva che non riesce a calcolare.

• Individuiamo quale argomento viene confrontato con zero e succ nella definizione.
• Facciamo induzione sulla variabile che occupa quella posizione nel goal.
• Controlliamo il passo succ: l'ipotesi induttiva deve riguardare la chiamata ricorsiva più piccola che compare nel goal.

Nei teoremi più complessi, talvolta conviene prima riformulare o generalizzare il goal.

Prima induzione: zero a sinistra

Vogliamo dimostrare l'enunciato:

lecture06_zero_somma (n : Naturale) : somma zero n = n.

Ricordiamo la definizione che unfold somma rende visibile:

def somma (m n : Naturale) : Naturale :=

match n with

| zero => m

| succ n => succ (somma m n)

somma analizza il proprio secondo argomento. Nel goal quel posto è occupato da n, quindi facciamo induzione su n.

Leggere induction n with

Nel proof script:

• induction n with sceglie n come variabile d'induzione.
• | zero => apre il caso base.
• | succ n ih => introduce il predecessore n e l'ipotesi induttiva ih.
• ogni ramo deve dimostrare la proprietà per il costruttore corrispondente.

Dove siamo arrivati

Abbiamo definito un tipo induttivo e funzioni ricorsive sui nostri naturali. Abbiamo poi usato rfl, unfold, rw e una prima dimostrazione per induzione.

Il risultato conclusivo è:

lecture06_zero_somma (n : Naturale) : somma zero n = n.

Nella prossima lezione useremo la stessa struttura per dimostrare altre proprietà della somma e introdurre simp.

Fonti

Theorem Proving in Lean 4, Inductive Types

Theorem Proving in Lean 4, Induction and Recursion

Theorem Proving in Lean 4, Tactics

Functional Programming in Lean, Datatypes and Patterns

Lean Language Reference, Recursive Definitions

Natural Number Game